permutazioni combinazioni disposizioni

Sopratutto per Elisa (come l'opera di Beethoven), non è che mi potreste spiegare anche con esempi i vari casi... cercando di ricorrere il meno possibile a frasi ''dati n insiemi di K che presi n ennesime volte ecc ecc'' ma un linguaggio spicciolo... sto cercando ovunque sul web ma non riesco ad essere soddisfatto...

ad esempio, preso da ammissione.it:

Se si lancia un dado 5 volte con quale probabilità il 2 esce esattamente 3 volte?

risultato: 2*(5^3/6^5)


io ho impostato così: 1/6*1/6*1/6*5/6*5/6= 5^2/6^5

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Considero il risultato di una serie di cinque lanci come una parola. Ad esempio, se

al primo lancio esce 4, al secondo lancio 3, al terzo  3, al quarto 2, al quinto1, avrò la parola 43321, considerando i numeri come se fossero le lettere che la compongono.

La mia idea è contare prima tutte le parole possibili, per poi ricavare quante sono quelle in cui il 2 compare esattamente 3 volte.

Bene, poiché ogni posto (lettera) della parola può essere un qualsiasi numero da 1 a 6 e poiché la lunghezza della parola è 5, esistono 65 parole possibili.

Ora, una delle parole che cerchiamo è, ad esempio, 222--, dove i trattini possono essere un qualsiasi numero tra 1 e 6 diverso da 2; questo vuol dire che tutte le nostre parole cercate sono anagrammi di questa presa come esempio. In particolare, per trovare gli anagrammi considero che al primo posto della mia parola ci può essere una qualsiasi delle 5 lettere (trattini compresi), mentre come seconda possibilità posso solo scegliere tra i 4 simboli rimanenti... e così via fino alla quinta per cui avrò una sola scelta, quindi il numero di anagrammi è 5*4*3*2*1. Considerato che abbiamo tre 2 e due trattini dobbiamo dividere questa quantità per 3! e per 2! ( it.wikipedia.org/wiki/Anagramma#Calcolo_combinatorio ) ottenendo così 10 anagrammi di 222--.

Concentriamoci però su quei trattini che abbiamo considerato come simboli uguali: essi in realtà rappresentano una parola di due posti con cinque simboli a disposizione, quindi il numero di queste possibili è 52. Pertanto il numero totale di parole di cinque lettere in cui il 2 compare esattamente 3 volte è 10*52, cioè il numero di anagrammi di 222-- moltiplicato per quanti -- posso esistere, anche in posizioni diverse della parola.

Infine, stando alla definizione classica di probabilità, numero di casi favorevoli / numero di casi possibili, abbiamo che la nostra probabilità cercata è

10*52 / 65 , ossia il risultato da te anticipato.

Nima non ti so rispondere ma piacerebbe anche a me avere una spiegazione con esempi più chiara del teoritest.Con quei K n non si capisce nulla!

L'opera di Beethoven mia omonima tra l'altro mi piace davvero molto...:sarcastic:

Purtroppo il calcolo combinatorio è la mia nemesi. Non mi è ancora entrato bene in testa (e ormai suppongo che non lo farà mai più! :sarcastic:) e quindi non sono in grado di suggerire schemi e quadri sinottici. :dash:

Possiamo guardare insieme qualche esercizio però, magari iniziamo da questo dei dadi!

ad esempio, preso da ammissione.it:

Se si lancia un dado 5 volte con quale probabilità il 2 esce esattamente 3 volte?

risultato: 2*(5^3/6^5)


io ho impostato così: 1/6*1/6*1/6*5/6*5/6= 5^2/6^5

Allora, l'intuizione non è sbagliata ed è la prima cosa che salta in mente, ma così facendo hai calcolato la probabilità relativa a uno solo dei possibili esiti. Quella lì è la probabilità che esca, chessò, 222xx. Oppure x222x, o 2x2x2 o quella che vuoi. Tutte queste probabilità sono uguali, quindi devi moltiplicare la probabilità della singola configurazione per il numero delle configurazioni possibili. Questo numero lo calcoli con il famigerato coefficiente binomiale "n su k" che, ti dicono i libri, esprime in quanti modi posso scegliere k oggetti tra n oggetti. Nel nostro caso, possiamo immaginare gli n oggetti come n posizioni oppure n caselle in cui mi segno i risultati dei lanci da 1 a n (abbiamo chiaramente n=5). Tra queste 5 posizioni o caselle, 3 saranno occupate dai nostri "2" e noi dobbiamo contare in quanti modi diversi possiamo posizionare i "2". Il coefficiente binomiale serve proprio a questo: qua ci sono 5 caselle, scegline 3 (--->scegli dove sono i "2"), in quanti modi diversi puoi farlo?

Quindi, moltiplichiamo per "5 su 3" = 5! / (5-3)!3! = 5! / 2*3! = 5*4 / 2 = 10. Questi 10 sono le possibili configurazioni che presentano per 3 volte "2". Dunque la probabilità totale sarà:

P = 10 * 5² / 6⁵ = 2 * 5³ / 6⁵

L'altro procedimento che hai postato sarà anche giusto ma mi sembra un po' macchinoso...la sostanza è la stessa ma a me pare più complicato (non avrei mai pensato all'analogia con gli anagrammi). Molto spesso chi conosce bene il calcolo combinatorio ti fa giri assurdi assicurandoti che in quel modo è più semplice ma alla fine si capisce solo lui. :sarcastic: Però il risultato è lo stesso quindi se a qualcuno pare più congeniale quello, credo vada benone anche così...

grazie elisa, però si, a dir la verità con gli anagrammi l'ho capito meglio, anche perchè quando mi si è fatto notare che c'è questa analogia mi è stato più facile da memorizzare (anche se tutt'ora ho delle difficoltà)

E' molto personale come cosa! A me succedeva spesso di non capire bene un esercizio fatto dal professore, poi lo stesso esercizio veniva risolto diversamente e tutto appariva chiaro...mentre altri compagni di corso avevano l'impressione opposta. Ma l'importante è trovare un modo per capire, che sia la 1a o la 2a versione! :sarcastic: