combinazioni, probabilità, lancio di dadi e monete. SOS

salve a tutti,
negli ultimi giorni sto provando a studiare e a capire le varie tecniche per determinare le probabilità varie di un evento. purtroppo, non avendole minimamente fatte al liceo, le trovo abbastanza difficili e soprattutto faccio molta confusione..
in particolare faccio fatica a capire la differenza tra un lancio simultaneo (se si lanciano due dadi contemporaneamente... se si estraggono due carte insieme... ecc) e un lancio successivo (si lancia un dado e poi un altro... se si estrae una carta e in seguito un'altra... ecc), cioè cosa cambia a livello di calcoli?
inoltre qualcuno avrebbe la voglia di darmi una mano a capire come arrivare alle soluzioni delle domande che scrivo qui sotto?

eccole:


- le probabilità che nel lancio contemporaneo di due dadi escano due numeri consecutivi è..

A) 1/2  1/6  C)1/3  D) 7/36  E) 5/36          risposta: A)


- quanti sono i numeri naturali formati da tre cifre significative distinte?

A) 648  504  C) 720  D) 120  E) 630            risposta: A)


- qual è la probabilità che lanciando 6 volte una moneta escano esattamente 4 teste?

A) 1/64  15/16  C) 15/64  D) 1/16  E) 5/32            risposta: C)


- si ha un'urna contenente 8 palline bianche. Qual è il numero minimo di palline rosse che bisognerebbe aggiungere perchè, estraendo due palline contemporaneamente, la probabilità che esse siano una bianca e una rossa sia 16/45?

A) 3  2  C) 5  D) 8  E) 10


- se si lancia un dado 5 volte con quale probabilità il 2 esce esattamente 3 volte?

A) 2*(5^3)/(6^5)  (5^2)/(6^5)  C) 1/(6^3)  D) 1/2  E) 1/2*(5^2)/(6^2)          risposta: A)


- tirando contemporaneamente due dadi, quante probabilità vi soo di ottenere un determinato numero su entrambi i dadi?

A) 1 su 6  1 su 12  C) 2 su 6  D) 1 su 100  E) 1 su 36          risposta: E)

- le probabilità che nel lancio contemporaneo di due dadi escano due numeri consecutivi è..

A) 1/2  1/6  C)1/3  D) 7/36  E) 5/36          risposta: A)

io l'ho vista così:
per due numeri consecutivi si intendono: 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, hai in tutto 5 combinazioni, ma le combinazioni possono anche essere inverse, quindi 6-5, 5-4, 4-3, 3-2, 2-1. Quindi le combinazioni risultano 10.
I dadi hanno 6 facce ognuno, quindi abbiamo 36 possibilità. 10. A me viene 10/36, semplificando sono 5/18. Penso che il testo sia sbagliato

- quanti sono i numeri naturali formati da tre cifre significative distinte?

A) 648  504  C) 720  D) 120  E) 630            risposta: A)

E' semplice, basta capire che ti serve un numero composto da 3 cifre dove la prima cifra NON E' zero. Lo zero, se posto avanti ad un numero, come per esempio 010, non assume valore significativo, quindi non è considerata una cifra significativa. Ora per capire quanti sono i numeri naturali a 3 cifre significative dobbiamo:
1) capire che visto che ci servono SOLO numeri a 3 cifre i nostri numeri andranno dal 100 al 999
2) semplici moltiplicazioni!: abbiamo detto che come primo numero non deve esserci uno zero, bensì un numero da 1 a 9, quindi abbiamo 9 scelte. nel secondo numero può invece esserci uno zero, ma non dobbiamo mettere lo stesso numero che abbiamo messo come primo ( se no non avremo un numero a 3 cifre con cifre diverse) e abbiamo quindi altre 9 possibilità. Nel terzo numero invece non deve esserci nè il numero presente nel primo nè il numero presente nel secondo, il che significa che abbiamo 8 possibilità. E ora fai un calcolo: 9 x 9 x 8.. fa 648!

- qual è la probabilità che lanciando 6 volte una moneta escano esattamente 4 teste?

A) 1/64  15/16  C) 15/64  D) 1/16  E) 5/32            risposta: C)

Iniziamo col dire che questo è un problema legato alle probabilità. Noi abbiamo una monetina che ha 2 facce e la lanciamo 6 volte, significa che:

1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2

Se moltiplichiamo i denominatori ci esce 64, quindi siamo già in grado di scartare la B, D e E.

Ora su 6 lanci, in modo elementare, cerchiamo di vedere quante volte può uscirci testa..

TTCCCC
TCTCCC
TCCTCC
TCCCTC
TCCCCT
CTTCCC
CTCTCC
CTCCTC
CTCCCT
CCTTCC
CCTCTC
CCTCCT
CCCTTC
CCCTCT
CCCCTT

sono 15, non esistono altre combinazioni. Quindi il risultato è 15/64



- tirando contemporaneamente due dadi, quante probabilità vi soo di ottenere un determinato numero su entrambi i dadi?

A) 1 su 6  1 su 12  C) 2 su 6  D) 1 su 100  E) 1 su 36          risposta: E)
[/quote]

1/6 x 1/6 = 1 su 36.

    salve a tutti,
    negli ultimi giorni sto provando a studiare e a capire le varie tecniche per determinare le probabilità varie di un evento. purtroppo, non avendole minimamente fatte al liceo, le trovo abbastanza difficili e soprattutto faccio molta confusione..
    in particolare faccio fatica a capire la differenza tra un lancio simultaneo (se si lanciano due dadi contemporaneamente... se si estraggono due carte insieme... ecc) e un lancio successivo (si lancia un dado e poi un altro... se si estrae una carta e in seguito un'altra... ecc), cioè cosa cambia a livello di calcoli?

Che il lancio sia contemporaneo o meno ti interessa solo nel caso in cui ci sia di mezzo una probabilità condizionata. Ad esempio, per il lancio di dadi o monete è solitamente indifferente che i lanci avvengano in sequenza o contemporaneamente, le probabilità restano indipendenti, il che equivale a dire che lanciare n volte una moneta è lo stesso che lanciare n monete tutte insieme. Nel caso invece in cui si estraggano palline da un'urna, se estraggo due palline contemporaneamente, oppure se ne estraggo una, la reinserisco e poi effettuo una seconda estrazione (il che è lo stesso), la probabilità delle due estrazioni è indipendente, viceversa se estraggo la prima pallina e poi la seconda senza reinserire la prima, la probabilità relativa alla seconda estrazione è diversa in quanto dipende dal risultato della prima estrazione. Detto questo, non esistono ricette predefinite per risolvere i problemi, una volta capito come funzionano le cose solitamente ognuno adotta la strategia che gli è più congeniale in quel momento (è una branca della matematica in cui il gusto personale è molto importante anche quando si tratta di ragionare e comprendere)...

    - le probabilità che nel lancio contemporaneo di due dadi escano due numeri consecutivi è..

    A) 1/2  1/6  C)1/3  D) 7/36  E) 5/36          risposta: A)

Concordo sul fatto che ci sia un errore, il risultato è indubbiamente 5/18.

    - quanti sono i numeri naturali formati da tre cifre significative distinte?

    A) 648  504  C) 720  D) 120  E) 630            risposta: A)

La prima cifra può essere scelta in 9 modi diversi (perché devi escludere lo zero), la seconda cifra nuovamente in 9 modi (perché devi escludere la cifra che hai usato per la prima in quanto devono essere tutte cifre diverse, ma puoi reinserire lo zero), la terza cifra in 8 modi (escludi la prima e la seconda). Totale: P = 9*9*8 = 648.

    - qual è la probabilità che lanciando 6 volte una moneta escano esattamente 4 teste?

    A) 1/64  15/16  C) 15/64  D) 1/16  E) 5/32            risposta: C)

La probabilità di una configurazione con 4 teste su 6 lanci è :

P₁ = 4*(Probabilità di 1 testa)*2*(Probabilità che non esca una testa) = 1/2⁶

in quanto la probabilità che esca testa è 1/2 e così pure la probabilità che NON esca testa.
Ora questa singola probabilità va moltiplicata per il numero di possibili configurazioni con 4 teste su 6 lanci, il che è espresso dal coefficiente binomiale "6 su 4" (che conta appunto i modi di scegliere k oggetti da un gruppo di n, o di posizionare k oggetti su n posizioni). Abbiamo:

6
(  ) = 6!/(4!*2!) = 15
4
                                                        6
Quindi la probabilità cercata è P = (  ) *P₁ = 15/64.
                                                        4

    - si ha un'urna contenente 8 palline bianche. Qual è il numero minimo di palline rosse che bisognerebbe aggiungere perchè, estraendo due palline contemporaneamente, la probabilità che esse siano una bianca e una rossa sia 16/45?

    A) 3  2  C) 5  D) 8  E) 10

Questo è un pelo più complicato. Chiamiamo x il numero delle palline rosse. Abbiamo un'estrazione contemporanea, ossia un'estrazione senza reinserimento. La probabilità è dunque condizionata. Si può ragionare così. Supponiamo che la prima pallina estratta sia bianca, la probabilità di estrarla sarà:

P_b1 = 8/(8+x)

quindi a questo punto la probabilità di estrarre una delle rosse diventa:

P_r2 = x/(7+x)

in quanto manca una delle 8 bianche. La probabilità complessiva sarà dunque P_b1*P_r2.
Ora prendiamo in considerazione l'altra possibilità, ossia che la prima estratta sia rossa:

P_r1 = x/(8+x)

ovviamente la probabilità di estrarre dopo una bianca sarà

P_b2 = 8/[8+(x-1)] = 8/(7+x)

e la probabilità complessiva dei due eventi sarà pari a P_r1*P_b2.
Ora altre possibilità non ce ne sono, quindi ci basta sommare e avremo la probabilità totale che imporremo uguale a 16/45. Risulta:

P = P_b1*P_r2 + P_r1*P_b2 = 16x/[(8+x)(7+x)] = 16/45

Semplificando si trova un'equazione di 2o grado le cui soluzioni sono 2 e 28. Il problema chiedeva il numero MINIMO di palline rosse e quindi scegliamo x=2.

    - se si lancia un dado 5 volte con quale probabilità il 2 esce esattamente 3 volte?

    A) 2*(5^3)/(6^5)  (5^2)/(6^5)  C) 1/(6^3)  D) 1/2  E) 1/2*(5^2)/(6^2)          risposta: A)

Versione più complicata di quello delle monete. Il ragionamento e lo stesso ma stavolta la probabilità che esca 2 è 1/6 mentre la probabilità che NON esca 2 è 5/6. Quindi per una configurazione:

P1 = (1/6)³*(5/6)² = 5²/6⁵

Le configurazioni del tipo cercato sono:

5
(  ) = 5!/(3!*2!) = 10
3

Da cui P = 10*P₁ = 2*5³/6⁵.

    - tirando contemporaneamente due dadi, quante probabilità vi soo di ottenere un determinato numero su entrambi i dadi?

    A) 1 su 6  1 su 12  C) 2 su 6  D) 1 su 100  E) 1 su 36          risposta: E)

Qui vale il discorso fatto all'inizio...anche se tiro i 2 dadi contemporaneamente, le probabilità non si modificano. Quindi posso pensare di tirarli in successione.
La probabilità di ottenere il numero che voglio io al 1o lancio è ovviamente 1/6, mentre la probabilità di ottenere lo stesso numero col 2o lancio è, per quanto detto, precisamente la stessa. Quindi la probabilità totale sarà:

P = 1/6 * 1/6 = 1/36.